三阶魔方的小鱼解法

题主的魔方因曾经拆散后重装，造成了无解的状态。

可以拆掉一个角块，将方向旋转至“小鱼1、小鱼2”可解决的状态。或者干脆拆掉整个第三层，直接拼装为还原状态。

接下来，简单给题主说明下，为何“拆散重装后的魔方会造成无解”。

经拆散后重装的魔方，有11/12的概率无法通过旋转还原

魔方有三类变化是无法通过旋转实现的：

无法单独翻转一个角块的方向。

无法单独翻转一个棱块的方向。

无法单独交换一对棱块的位置。

拆散再重装，即有可能出现需要进行上述三种操作才能还原魔方，这个概率是11/12。

为什么那三类变化无法通过旋转魔方实现

我们首先引入一个概念——

最小操作

，可以理解为

完成一个事件的最小的、不可拆分的操作

。

比如，一家餐厅，米饭2元、馒头1元、粥3元。在这家餐厅消费，因其定价特点，无论何种点餐组合，支出的费用都只可能是

整数元

。所以，“

支出1元

”便是在这家餐厅消费的“

最小操作

”。

魔方的“最小操作”是将魔方的一层

旋转90

°。

魔方的

角块

有3个色片，即有

3种方向

。我们把魔方

还原状态

下的角块方向，记为

3n

角块

顺时针翻转

后，记为

3n+1

逆时针翻转

后，记为

3n-1

。

魔方进行一次最小操作后，有两个角块方向翻转为3n+1，另两个翻转为3n-1，即

四个角块的方向加和为3n×4

。

那么，任意次旋转魔方，所涉及

角块方向加和

为

3n的整数倍

。所以，不可能将一个角块翻转为3n+1或3n-1，而其他角块方向不变，即

无法单独翻转一个角块

。

接下来，我们再来引入一个概念——

置换

。假设有3个元素A、B、C，将A移动到B、B移动到C、C移动到A，我们将这个过程记为

置换 (A， B， C)

。显然，

(A， B， C)

可以拆分为

(B， C) + (A， B)

(A， B， C， D) = (A， B) + (A， C) + (A， D)

。

如此，我们将可以拆分为

偶数个子置换

者称为

偶置换

，

无置换

亦为

偶置换

可以拆分为

奇数个子置换

者称为

奇置换

，

不可拆分的置换

亦为

奇置换

。

不难理解，

奇置换 + 奇置换 = 偶置换

偶置换 + 偶置换 = 偶置换

奇置换 + 偶置换 = 奇置换

。

魔方的

棱块

有2个色片，即有

2种方向

。基于置换概念，

单独翻转一个棱块

为

奇置换

。

翻转棱块方向

，需要进行两次最小操作，即某个面旋转180°。该面上的四个棱块方向同时翻转，此为四个奇置换，

奇置换 × 4 = 偶置换

。

魔方还原状态 = 偶置换

。

因

偶置换 + 偶置换 ≠ 奇置换

，即魔方还原状态下（偶置换），不可能通过一系列翻转棱块操作（偶置换 + 偶置换），从而达到单独翻转一个棱块的效果（偶置换 + 偶置换 ≠ 奇置换），所以

无法单独翻转一个棱块

。

基于置换概念，魔方进行一次最小操作，某面旋转90°，四个角块、四个棱块同时向旋转方向循环移动一位，角块、棱块位移分别为奇置换，

故一次最小操作 = 奇置换 × 2 = 偶置换

。

单独交换一对棱块 = 奇置换

。

魔方还原状态 = 偶置换

。

因

偶置换 + 偶置换 ≠ 奇置换

，即魔方还原状态下（偶置换），不可能通过一系列最小操作（偶置换 + 偶置换），从而达到单独交换一对棱块的效果（偶置换 + 偶置换 ≠ 奇置换），即

无法单独交换一对棱块

。

综上，以“最小操作”概念证明无法单独翻转一个角块，以“置换”概念证明无法单独翻转、交换一个棱块。

更为详细的讲述，题主可以阅读以下文章：

92%的魔方在拆散后无法还原！(2018/10/29)_碧海风云