圆柱螺旋线周长计算公式推导

圆柱螺旋线：定义：一动点M沿圆柱的母线作等速直线运动，而该母线又绕圆柱的轴线作等角速度旋转时，点M的运动轨迹

就是圆柱螺旋线。

参数方程Xt=a*cos(t)

Yt=a*sin(t)

Zt=P*t/2*pi

其中：a为圆柱面的半径，P为螺旋线的螺距。

首先大家要知道，螺旋线的展开其实就是一条直线，它可以看做以圆柱底面周长为一条直角边，螺距为高的直角三角形的斜边

那么这条斜线的斜率就是p/pi*d，也就是这条斜线的方程是：Z=p/pi*d*L（类似初中的y=k*x)

大家要注意的是，此时的自变量是L（弧长），而我们现在的参数方程是Z(t)，自变量是t

所以只需将L转化成t就OK

由于在一个圆中，2*pi弧度对应的弧长就是直径pi*d，所以：t/2*pi=L/pi*d

L=t*d/2，代入到Z=p/pi*d*(t*d/2)=p*t/2*pi

到此就已经OK了。

圆柱波浪线：Xt=a*cos(t)

Yt=a*sin(t)

Zt=A*cos(N*t)

a为圆柱半径，A为振幅，N为波段数

我们先来看个例子：

大家可以看出，我们Z(高度）与弧长L的关系是一段余弦曲线，所以Z=A*cos(w*L)注意：此时的自变量是L弧长。

我们给出的余弦线的周期是pi*d/N=pi*d/6

由于T=2*pi/w，所以w=2*N/d，那么Z=A*cos(2*N/d*L)

又回到上面那个转换关系，只需L转换成t，t/2*pi=L/pi*d

L=t*d/2，所以Z=A*cos(2*N/d*(t*d)/2)=A*cos(N*t)及现在的自变量又为t了。

说明：以上所有涉及圆周率都是写成了SW认可的pi。

以上所有的方程都不需要什么高=数学，都是一些三角函数变化。