三角形三线合一定理

三角形三线合一必须是前提是两边相等。只有等腰三角形才能具有三线合一的性质。所以等腰三角形底边上的高线顶角的平分线和底边上的中线三线合一。

定义 在等腰三角形ABC中，(设AB=AC) 它的底边上的高线，底边上的中线，及顶角平分线重合叫做“三线合一” 前提： 在等腰三角形中 证明

1、底边上的中线推底边上的高线和顶角平分线 .∵AB=AC ∴∠B=∠C 又∵BD=DC，AD=AD ∴△ADB≌△ADC 可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC ∴AC⊥BD，AD平分∠BAC 其余两个推广结论证明与之类似，不重复。

应用 1.∵AB=AC，BD=DC=1/2BC ∴AC⊥BD，AD平分∠BAC

2、∵AB=AC，AC⊥BD ∴BD=DC=1/2BC，AD平分∠BAC

3、∵AB=BC，AD平分∠BAC ∴AC⊥BD，BD=DC=1/2BC 逆推结论 在一三角形中，一边上的高线与此边上的中线，及此边对角角平分线中 任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形。（注意：其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形，可应用正弦定理，或过此边中点作另外两边垂线。）