边界点什么时候是孤立点

边界点是点集相交为空集的孤立点。孤立点是任何空心邻域都与点集相交为空集，但是孤立点本身是属于点集的，边界点的定义是任何邻域即包含点集又包含点集外的点，所以并不矛盾，孤立点本身属于点集，去心邻域包含点集外的点，所以是边界点，要注意边界点的定义是任何邻域而不是去心邻域。

边界点的定义不要搞错了，点M的任意一个邻域中既有点集内的点也有点集外的点，不是去心邻域，是邻域，孤立点M本身就在他的领域中，所以孤立点也是边界点。