求二元一次函数极值的方法

我们都知道，二元一次函数的一般表达式为y=Kx+b。要求这个二元一次函数的极值，首先，我们必须知道这个二元一次函数的定义域。假设这个二元一次函数的定义域为≤ax≤b，那么这个二元一次函数的极值分别是:当K<0时，极大值为Ka+c，极小值为Kb十c，当K>0时，极大值为Kb十C，极小值为Ka+C。

类似一元函数， 二元函数的极值与其偏导数密切相关． 以下讨论中， 我们假设在某区域内二元函数的一阶偏导处处存在（即函数曲面处处光滑）． 如果二元函数  在某点  处对  的偏导数都为零， 那么  就叫做函数  的驻点． 根据式 9 ， 驻点处各个方向的方向导数也都为零．

我们先来定义二元函数的极值点， 以驻点为圆心在  平面上作一个圆形区域， 若当半径足够小时，  是该圆形区域的最大值或最小值， 那么该驻点就是极大值点或极小值点． 与一元函数类似， 驻点不一定是极值点． 例如  在坐标原点的两个一阶偏导都为零， 但原点并不是极值点． 为了判断驻点是不是极值点， 也需要用到二阶偏导（假设驻点处的各个二阶偏导都存在）． 如果满足

则驻点是极值点． 如果  和  都大于零1， 则极值为极小值， 若都小于零， 则极值为极大值．

证明

类比一元函数的证明， 要证明二元函数的某点是极值点， 就要证明该点的任意二阶方向导数都大于零或都小于零2． 令某方向为 ， 由式 9 得该方向的方向导数为

再次求方向导数得二阶方向导数为

如果你还不习惯看算符的平方， 可以把上式的括号项平方看做两个括号项， 依次作用在函数上． 以极小值为例， 令上式恒大于零， 并除以  得

上式左边是关于  的二次函数， 若要恒大于零， 则二次项系数要大于零， 且判别式需小于零， 立即可得式 1 ． 同理可得极大值条件．

1、 根据式 1 ， 只需验证  或  中的任意一个大于零， 另外一个就必定大于零．

2、 否则延一个方向前进函数值会越来越大， 而延另一个方向前进函数值会越来越小， 这个点就不是极值点